OK, het lijkt er op dat jouw internet-verbinding op zich goed werkt. Ook het dns-gedeelte werkt dus ook, anders had je nu.nl nooit kunnen pingen. Dat het ip-adres een ander is dan dat ik heb opgegeven is op zich mogelijk, de dns-server heeft dan voor jou een andere server geselecteerd.
Als ik jou goed begrijp, heb je wel een goede 'downloadverbinding'. Wat bedoel je daarmee? Kun je bijvoorbeeld normaal surfen, dus bijvoorbeeld naar nu.nl?
"Maar ik kan niet internetbankieren"
Dit kan liggen aan de beveiligde verbinding die wordt opgezet, via SSL. Doorgaans verloopt dat via een andere poort dan de standaard 80 (uit mijn hoofd: 8080), dus misschien dat deze (poort) wordt tegengehouden, bijvoorbeeld door een ingebouwde firewall in het modem. Kun je dit verifieren, dat wil zeggen: heb je verbinding met de website, wat voor verbinding is dat (http of https, kun je zien in je adresbalk)?
"en ik kan ook niet e-mailen"
Maak je gebruik van pop3/smtp? Probeer dan als eerste deze twee servers te pingen.